Una è la linea, l’altro è quello che c’è dentro
Circonferenza e cerchio si usano come sinonimi nel parlare di tutti i giorni, e in geometria sono due cose diverse.
La circonferenza è la linea curva chiusa.
Il cerchio è la parte di piano che quella linea racchiude.
Se ti sembra una distinzione da pignoli, guarda dove porta: della circonferenza si misura la lunghezza (in cm), del cerchio si misura l’area (in cm²). Sono due domande diverse e due formule diverse.
È la stessa distinzione che hai già incontrato con i poligoni: la spezzata chiusa è il contorno, il poligono è la regione. Qui il contorno è curvo, ma la logica non cambia.
Tutto nasce da una proprietà sola
C’è una frase che genera l’intera pagina:
Tutti i punti della circonferenza stanno alla stessa distanza dal centro.
Quella distanza si chiama raggio. Non c’è nient’altro nella definizione: nessun lato, nessun vertice, nessun angolo.
È anche il motivo per cui il compasso funziona: tieni la punta ferma nel centro, la matita resta sempre alla stessa distanza, e quello che disegni è per forza una circonferenza.
E la ritrovi in un posto che conosci già: l’asse di un segmento è l’insieme dei punti equidistanti da due punti. Qui l’idea è la stessa, applicata a un punto solo.
Raggio, diametro, corda
- Raggio (r): unisce il centro a un punto della circonferenza. Ce ne sono infiniti e sono tutti uguali.
- Corda: unisce due punti della circonferenza.
- Diametro (d): la corda che passa per il centro. È il doppio del raggio.
d = 2r e r = d : 2
Questa è la relazione che userai in ogni singolo problema sul cerchio, perché i testi a volte danno il raggio e a volte il diametro, e le formule vogliono quasi sempre il raggio.
Il diametro ha anche un primato: è la corda più lunga possibile. Una corda che non passa per il centro è sempre più corta, e più si allontana dal centro più si accorcia.
Il trucco per i compiti. Se tracci la distanza dal centro a una corda, quella distanza cade perpendicolare e taglia la corda a metà. Si forma così un triangolo rettangolo con:
- il raggio come ipotenusa;
- la distanza dal centro come primo cateto;
- metà corda come secondo cateto.
Da lì entra in gioco il teorema di Pitagora, ed è così che si risolvono quasi tutti i problemi con le corde.
Le parti del cerchio
Alcune parole tornano spesso nei problemi e vale la pena distinguerle subito.
- Arco: una parte di circonferenza, cioè un pezzo di linea fra due punti.
- Settore circolare: una parte di cerchio compresa fra due raggi. È la fetta di pizza.
- Segmento circolare: la parte di cerchio fra una corda e l’arco.
- Corona circolare: la parte fra due circonferenze concentriche, come una ciambella.
Nota che la distinzione linea contro superficie torna anche qui: l’arco è linea, il settore è superficie.
Una retta e una circonferenza
Una retta, rispetto a una circonferenza, può stare in tre modi soltanto. E si distinguono confrontando la distanza dal centro con il raggio.
- Esterna: distanza maggiore del raggio, nessun punto in comune.
- Tangente: distanza uguale al raggio, un solo punto in comune.
- Secante: distanza minore del raggio, due punti in comune.
La retta tangente ha una proprietà che ritorna spesso: è perpendicolare al raggio nel punto di contatto.
Due circonferenze
Anche due circonferenze hanno posizioni con un nome, e si riconoscono confrontando la distanza fra i centri con i raggi.
Chiamando d la distanza fra i centri e r₁, r₂ i due raggi:
| Posizione | Condizione |
|---|---|
| esterne | d > r₁ + r₂ |
| tangenti esternamente | d = r₁ + r₂ |
| secanti | r₁ − r₂ < d < r₁ + r₂ |
| tangenti internamente | d = r₁ − r₂ |
| una interna all’altra | d < r₁ − r₂ |
| concentriche | d = 0 |
Le concentriche sono il caso della corona circolare: stesso centro, raggi diversi.
Se ti blocchi: cerca il raggio, sempre
Nei problemi sul cerchio quasi tutte le formule vogliono il raggio. Quindi la prima mossa, prima ancora di leggere la domanda, è procurartelo.
Ti danno il diametro? Dividi per due.
Ti danno una corda? Da sola non basta, ma se passa per il centro è un diametro.
Ti danno la distanza di una retta tangente? Quella distanza è il raggio.
Trovato il raggio, il resto viene da sé: la lunghezza della circonferenza e l’area del cerchio partono entrambe da lì.
✎ Esercizio svolto
Una circonferenza ha raggio 7 cm. Quanto misura il diametro? E se una corda misura 12 cm, può essere un diametro?
- Ricava il diametro Il diametro è il doppio del raggio: d = 2 · 7 = 14 cm.
- Confronta la corda con il diametro La corda misura 12 cm, il diametro 14 cm: la corda è più corta.
- Applica la proprietà delle corde Il diametro è la corda più lunga possibile, perché passa per il centro. Una corda di 12 cm non può quindi essere un diametro.
- Nota dove si trova Essendo più corta del diametro, quella corda non passa per il centro: sta più vicina al bordo.
Soluzione: Il diametro misura 14 cm; la corda da 12 cm non è un diametro perché è più corta.
▶ Lo vedi nel gioco
Ecco come questo argomento prende vita dentro il videogioco Math Legacy.
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Domande frequenti
Qual è la differenza tra circonferenza e cerchio?
La circonferenza è la linea curva chiusa, il cerchio è la parte di piano racchiusa da quella linea. È la stessa differenza che c'è fra perimetro e area.
Che cos'è il raggio?
Il segmento che unisce il centro a un punto qualsiasi della circonferenza. Tutti i raggi di una stessa circonferenza sono uguali.
Che rapporto c'è tra raggio e diametro?
Il diametro è il doppio del raggio, e il raggio è la metà del diametro: d = 2r.
Che cos'è una corda?
Un segmento che unisce due punti della circonferenza. Il diametro è la corda più lunga, perché passa per il centro.
Quali posizioni può avere una retta rispetto a una circonferenza?
Esterna se non la tocca, tangente se la tocca in un punto solo, secante se la incontra in due punti.
Che cos'è un arco?
Una parte di circonferenza compresa fra due punti. Il settore circolare è invece la parte di cerchio fra due raggi.
Perché il compasso disegna una circonferenza?
Perché tiene la punta ferma nel centro e la matita sempre alla stessa distanza: è esattamente la definizione di circonferenza.