Pi greco non è stato inventato: è stato misurato
Prendi un barattolo e uno spago. Avvolgi lo spago attorno al barattolo, poi stendilo e misuralo: quella è la circonferenza. Poi misura il diametro del barattolo con un righello.
Adesso fai la divisione:
circonferenza : diametro = 3,14
Ripeti con un piatto, con una moneta, con la ruota della bici. Viene sempre 3,14.
Questo è pi greco, e si scrive con la lettera greca π. Non è un numero deciso a tavolino: è un rapporto che si trova misurando, e che viene identico per qualunque cerchio del mondo.
Perché succede? Perché tutti i cerchi hanno la stessa forma: uno grande è semplicemente l’ingrandimento di uno piccolo. Quando ingrandisci, circonferenza e diametro crescono insieme, quindi il loro rapporto resta lo stesso.
Da questa scoperta viene tutto il resto della pagina: se il rapporto è sempre 3,14, allora la circonferenza si ottiene moltiplicando il diametro per 3,14.
La formula
C = π · d oppure C = 2 · π · r
Le due scritture dicono la stessa cosa, perché il diametro è il doppio del raggio. Usa quella per cui hai i dati:
- ti danno il diametro → C = π · d
- ti danno il raggio → C = 2 · π · r
Diametro 10 cm → C = 10π cm (oppure, calcolando: 3,14 · 10 = 31,4 cm)
Raggio 5 cm → C = 10π cm (oppure: 2 · 3,14 · 5 = 31,4 cm)
Lasciare il indicato è spesso la forma che chiedono i professori, perché evita calcoli lunghi con la virgola. Controlla la consegna prima di scegliere.
Stesso cerchio, stesso risultato: è un buon modo per controllare di non aver confuso raggio e diametro, che è l’errore numero uno di tutto il capitolo.
Girare la formula
Nei problemi capita spesso il contrario: conosci la circonferenza e cerchi il raggio.
d = C : π e poi r = d : 2
C = 31,4 cm → d = 31,4 : 3,14 = 10 cm → r = 5 cm
Non è una formula nuova da imparare: è la stessa, con la divisione al posto della moltiplicazione.
Quanto vale davvero π
Il valore che usi nei problemi, 3,14, è un’approssimazione. Il valore vero è:
π = 3,14159265358979…
e le cifre non finiscono mai e non si ripetono. È un numero di un tipo che studierai più avanti, ma quello che conta adesso è saperlo: quando scrivi il risultato con 3,14 stai approssimando, e per questo si scrive spesso “circa”.
Alcuni libri usano la frazione 22/7, che vale 3,142857… ed è un’approssimazione leggermente diversa. Per la seconda media 3,14 va benissimo.
La lunghezza di un arco
Un arco è un pezzo di circonferenza, e la sua lunghezza si trova con una proporzione: l’arco sta alla circonferenza intera come il suo angolo al centro sta a 360°.
arco : C = angolo : 360°
Nella pratica conviene ragionare a frazioni di giro, che è più veloce:
- un arco di 90° è un quarto di circonferenza;
- un arco di 180° è metà;
- un arco di 60° è un sesto.
C = 31,4 cm, arco di 90° → 31,4 : 4 = 7,85 cm
C’è anche una proprietà fondamentale per i problemi: se un angolo al centro e un angolo alla circonferenza insistono sullo stesso arco, l’angolo al centro vale sempre il doppio di quello alla circonferenza. E letta al contrario: l’angolo alla circonferenza è la metà di quello al centro.
Se ti blocchi: controlla raggio o diametro, poi stima
Due mosse, e i problemi sulla circonferenza si chiudono da soli.
Prima: il numero che hai è il raggio o il diametro? Rileggi il testo. Se è il diametro e usi la formula con il 2, sbagli di due volte. È l’errore più frequente e il più facile da evitare.
Poi: fai una stima. La circonferenza è poco più di tre volte il diametro. Sempre.
diametro 10 → la circonferenza sarà poco più di 30
raggio 5 → il diametro è 10, quindi di nuovo poco più di 30
Se ti viene 15 o 300, l’errore si vede a occhio. Questa stima costa due secondi e smaschera quasi tutti gli sbagli di formula.
✎ Esercizio svolto
Una ruota di bicicletta ha diametro 70 cm. Quanti metri percorre in un giro completo? E quanti giri fa in 1 km?
- Calcola la circonferenza C = π · d = 3,14 · 70 = 219,8 cm. È la distanza percorsa in un giro.
- Converti in metri 219,8 cm = 2,198 m, circa 2,2 metri a giro.
- Passa al chilometro 1 km sono 1000 m. Il numero di giri è 1000 : 2,198.
- Concludi Vengono circa 455 giri. Ha senso: ogni giro copre poco più di due metri.
Soluzione: Un giro copre circa 2,2 m; per fare 1 km servono circa 455 giri.
▶ Lo vedi nel gioco
Ecco come questo argomento prende vita dentro il videogioco Math Legacy.
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Domande frequenti
Come si calcola la lunghezza della circonferenza?
Si moltiplica il diametro per pi greco: C = π · d. Equivalentemente C = 2 · π · r.
Che cos'è pi greco?
È il rapporto fra la lunghezza di una circonferenza e il suo diametro. Vale circa 3,14 e resta lo stesso per qualunque cerchio.
Perché pi greco è sempre uguale?
Perché tutti i cerchi hanno la stessa forma: ingrandendo un cerchio crescono insieme sia la circonferenza sia il diametro, quindi il loro rapporto non cambia.
Come si trova il diametro conoscendo la circonferenza?
Si divide per pi greco: d = C : π. Se C = 31,4 cm, allora d = 10 cm.
Quanto vale pi greco esattamente?
Non ha un valore esatto con un numero finito di cifre: è 3,14159… e le cifre non finiscono mai. Nei problemi si usa 3,14.
Come si calcola la lunghezza di un arco?
Si fa la proporzione con l'angolo al centro: l'arco sta alla circonferenza come l'angolo sta a 360°.
Se il raggio raddoppia, cosa succede alla circonferenza?
Raddoppia anche lei, perché la formula è una moltiplicazione: doppio raggio, doppia circonferenza.