Il cerchio tagliato a fette diventa un rettangolo
Con i poligoni hai imparato un metodo: taglia la figura e ricomponila fino a ottenere un rettangolo. Il cerchio non ha lati, quindi sembra fuori portata.
E invece funziona anche con lui.
Taglia il cerchio in tante fette sottili, come una pizza. Poi prendile e incastrale una accanto all’altra, alternando una con la punta in su e una con la punta in giù. Quello che ottieni assomiglia a un rettangolo con il bordo un po’ seghettato: più sottili sono le fette, più il bordo diventa dritto.
E adesso guarda le misure di quel rettangolo:
- l’altezza è il raggio, perché ogni fetta è alta quanto il raggio;
- la base è metà circonferenza, perché metà dei bordi curvi sta sopra e metà sotto.
Siccome la circonferenza è 2πr, la sua metà è πr. Quindi:
A = base × altezza = πr × r = π · r²
La formula più famosa della geometria non è calata dall’alto: è il solito rettangolo, ottenuto con un taglio un po’ più fantasioso.
La formula, e l’ordine dei passaggi
A = π · r²
Attenzione all’ordine: prima si eleva al quadrato il raggio, poi si moltiplica per π. Non è la stessa cosa che moltiplicare prima per 3,14 e poi elevare tutto al quadrato.
r = 6 cm → r² = 36 → A = 36π cm² (oppure, calcolando: 3,14 · 36 = 113,04 cm²)
Molti insegnanti preferiscono lasciare il simbolo nel risultato, per evitare calcoli lunghi con la virgola. Controlla sempre come lo vuole il tuo.
E come sempre serve il raggio, non il diametro. Se il problema ti dà 12 cm di diametro, la prima riga del tuo svolgimento deve essere r = 6.
Per tornare indietro: dall’area al raggio
Se conosci l’area e cerchi il raggio, si gira la formula e si finisce con una radice quadrata:
r² = A : π, poi r = √(r²)
A = 78,5 cm² → r² = 78,5 : 3,14 = 25 → r = √25 = 5 cm
Gli esercizi sono quasi sempre costruiti in modo che venga un quadrato perfetto, quindi se ti esce un numero strano conviene ricontrollare i conti.
Il settore circolare: una fetta di pizza
Il settore è la parte di cerchio compresa fra due raggi, cioè la fetta. La sua area è una frazione dell’area totale, in proporzione al suo angolo al centro.
settore : A = angolo : 360°
In pratica conviene ragionare a frazioni di giro, come per gli archi:
- 90° → un quarto del cerchio
- 180° → metà
- 120° → un terzo
- 60° → un sesto
A = 113,04 cm², settore di 90° → 113,04 : 4 = 28,26 cm²
Nota il legame con la lunghezza dell’arco: lo stesso angolo ritaglia sia un arco (linea) sia un settore (superficie), e in tutti e due i casi la frazione di giro è la stessa. Cambia solo cosa stai frazionando.
La corona circolare: due cerchi, una sottrazione
La corona è la parte compresa fra due circonferenze concentriche, cioè con lo stesso centro. È la forma di una ciambella o di un anello.
Non serve nessuna formula nuova:
A corona = A cerchio grande − A cerchio piccolo = π · R² − π · r²
R = 5 cm, r = 3 cm → 3,14 · 25 − 3,14 · 9 = 78,5 − 28,26 = 50,24 cm²
L’errore da evitare: non si sottraggono i raggi e poi si eleva al quadrato. (5 − 3)² darebbe 4, e moltiplicato per π farebbe 12,56: un risultato completamente diverso. Prima le due aree, poi la sottrazione.
Un trucco per fare un conto solo: raccogli il .
Attenzione: raddoppiando il raggio l’area quadruplica
È la conseguenza del quadrato nella formula, e sorprende sempre.
r = 5 → A = 78,5 cm²
r = 10 → A = 314 cm²
Il raggio è raddoppiato, l’area è diventata quattro volte più grande. Perché 2² = 4.
È lo stesso comportamento che avevi visto con il quadrato: quando una misura compare al quadrato, raddoppiarla moltiplica per quattro il risultato. Ed è il motivo per cui una pizza da 40 cm non è il doppio di una da 20 cm: è il quadruplo.
Se ti blocchi: chiediti se ti serve la linea o la superficie
Il dubbio più comune sul cerchio non è quale formula usare, è quale delle due. Circonferenza e area si somigliano troppo.
Il problema parla di un bordo, un giro, un filo, una recinzione, quanta strada? È la circonferenza, e la formula ha il raggio da solo: 2πr.
Parla di una superficie, quanta vernice, quanto terreno, quanta stoffa? È l’area, e il raggio è al quadrato: πr².
Un aiuto in più viene dall’unità di misura chiesta: se il risultato deve essere in cm² è per forza un’area.
E prima di consegnare, la stima: l’area del cerchio è circa tre volte il quadrato del raggio. Con r = 6, tre volte 36 fa 108, e il risultato vero è 113. Se il tuo numero è lontanissimo da lì, torna sui conti.
✎ Esercizio svolto
Un cerchio ha diametro 12 cm. Calcola la sua area e poi l'area di un settore circolare di 90°.
- Trova il raggio La formula vuole il raggio: r = 12 : 2 = 6 cm.
- Eleva al quadrato, poi moltiplica r² = 36, quindi A = 3,14 · 36 = 113,04 cm². L'ordine conta: prima il quadrato, poi il pi greco.
- Riconosci la frazione di cerchio Un settore di 90° è un quarto di giro, quindi è un quarto del cerchio.
- Dividi 113,04 : 4 = 28,26 cm².
Soluzione: Il cerchio ha area 113,04 cm²; il settore di 90° ha area 28,26 cm².
▶ Lo vedi nel gioco
Ecco come questo argomento prende vita dentro il videogioco Math Legacy.
Video gameplay in arrivo
Presto qui vedrai l'argomento affrontato dentro il videogioco Math Legacy.
Domande frequenti
Come si calcola l'area del cerchio?
Si eleva il raggio al quadrato e si moltiplica per pi greco: A = π · r². Con r = 6 cm l'area è 113,04 cm².
Da dove viene la formula dell'area del cerchio?
Tagliando il cerchio in tante fette sottili e incastrandole si ottiene quasi un rettangolo alto r e lungo π · r, la cui area è proprio π · r².
Serve il raggio o il diametro?
Il raggio. Se il problema dà il diametro, va prima diviso per due.
Che differenza c'è tra circonferenza e area del cerchio?
La circonferenza misura la linea e si esprime in cm; l'area misura la superficie e si esprime in cm².
Come si calcola l'area di un settore circolare?
Si fa la proporzione con l'angolo: il settore sta al cerchio come il suo angolo sta a 360°. Un settore di 90° è un quarto del cerchio.
Come si calcola l'area della corona circolare?
Si sottrae l'area del cerchio piccolo da quella del cerchio grande.
Se il raggio raddoppia, l'area raddoppia?
No, quadruplica: il raggio è elevato al quadrato, quindi 2² = 4 volte.