Isometria vuol dire “stesse misure”
La parola sembra difficile, e invece si legge da sola: iso significa uguale, metria significa misura.
Un’isometria è un modo di spostare una figura senza cambiarne le misure.
La figura cambia posto, magari si gira o si ribalta, ma lati e angoli restano esattamente quelli di prima. È il motivo per cui una figura e la sua trasformata sono sempre congruenti, nel senso preciso visto con i criteri di congruenza.
Le isometrie sono tre, e sono i tre movimenti che puoi fare con un ritaglio di cartone su un tavolo:
- farlo scivolare senza girarlo → traslazione
- girarlo attorno a un punto → rotazione
- ribaltarlo → simmetria
Questa pagina si occupa dell’ultima, che si presenta in due versioni.
La simmetria assiale: lo specchio
La simmetria assiale ribalta la figura rispetto a una retta, chiamata asse.
La regola punto per punto è precisa, e la conosci già:
Il punto P e il suo simmetrico P’ stanno sulla perpendicolare all’asse, alla stessa distanza, da parti opposte.
Detto in un altro modo: l’asse è l’asse del segmento PP’, esattamente nel senso studiato in assi, distanze e proiezioni. Non è un caso che si chiamino con la stessa parola.
Il modello mentale è lo specchio: quello che vedi riflesso è alla stessa distanza dal vetro, ma dall’altra parte. Ed è anche il motivo per cui allo specchio la scritta di una maglietta si legge al contrario: la simmetria assiale capovolge il verso.
Se un punto sta sull’asse, resta dov’è: la sua distanza dall’asse è zero.
La simmetria centrale: mezzo giro
La simmetria centrale ribalta rispetto a un punto, chiamato centro.
Il centro O è il punto medio del segmento PP’.
Quindi per trovare P’ basta: partire da P, passare per O, e proseguire dall’altra parte per la stessa distanza.
È equivalente a una rotazione di 180°, cioè a girare la figura di mezzo giro. E qui sta la differenza importante con l’assiale: la simmetria centrale non capovolge la figura, la gira soltanto. Una scritta ruotata di mezzo giro si legge sottosopra ma non specchiata.
Le due a confronto
| Caratteristica | Simmetria assiale | Simmetria centrale |
|---|---|---|
| rispetto a | una retta (asse) | un punto (centro) |
| cosa fa | ribalta, come uno specchio | gira di mezzo giro |
| il verso di lettura | si capovolge | resta lo stesso |
| punti fermi | tutti quelli sull’asse | solo il centro |
| tipo di isometria | inversa | diretta |
Il test più veloce per distinguerle su un disegno: guarda se la figura è stata specchiata o solo girata. Se una freccia che puntava a destra ora punta a sinistra ma resta in alto, è assiale. Se punta a sinistra ed è finita in basso, è centrale.
Assi e centri di simmetria di una figura
Le simmetrie non servono solo a spostare figure: servono anche a descriverle.
Una figura ha un asse di simmetria se esiste una retta che la divide in due parti che combaciano ribaltandole. Lo hai già usato con i quadrilateri:
- il rettangolo ne ha 2, il quadrato 4, il rombo 2;
- il trapezio isoscele ne ha 1, quello scaleno nessuno;
- il cerchio ne ha infiniti, perché ogni diametro è un asse.
Una figura ha un centro di simmetria se ruotandola di 180° torna su se stessa. Ce l’hanno il parallelogramma, il rettangolo, il rombo, il quadrato e il cerchio; non ce l’hanno il triangolo e il trapezio.
Nota una cosa: sono due proprietà indipendenti. Il parallelogramma ha un centro ma nessun asse; il trapezio isoscele ha un asse ma nessun centro.
Se ti blocchi: usa il foglio e la piega
Per capire se una retta è asse di simmetria, il test fisico è imbattibile: piega il foglio lungo quella retta. Se le due metà combaciano, è un asse.
Per la simmetria centrale, il test è girare il foglio di mezzo giro tenendolo fermo con la punta della matita sul centro: se la figura si sovrappone a com’era prima, quello è un centro di simmetria.
E per costruire il simmetrico di un punto, ricorda la regola nel modo più corto possibile:
- assiale → perpendicolare all’asse, stessa distanza, dall’altra parte;
- centrale → dritto attraverso il centro, stessa distanza, dall’altra parte.
Cambia solo cosa attraversi: una retta o un punto.
✎ Esercizio svolto
Un punto P dista 3 cm dall'asse di simmetria. Dove si trova il suo simmetrico P'? E se la simmetria fosse centrale rispetto a un punto O che dista 4 cm da P?
- Applica la regola dell'asse Nella simmetria assiale l'asse è l'asse del segmento PP': quindi P' sta dall'altra parte, sulla perpendicolare, alla stessa distanza.
- Concludi per l'assiale P' dista 3 cm dall'asse, dalla parte opposta rispetto a P.
- Passa alla simmetria centrale Nella simmetria centrale il centro è il punto medio di PP'.
- Concludi per la centrale P' sta sulla retta che passa per P e O, dalla parte opposta di O, a 4 cm da O. La distanza fra P e P' è quindi 8 cm.
Soluzione: Nell'assiale P' dista 3 cm dall'asse dall'altra parte; nella centrale P' dista 4 cm da O sul prolungamento di PO.
▶ Lo vedi nel gioco
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Domande frequenti
Che cos'è un'isometria?
Una trasformazione che sposta una figura senza cambiarne forma e misure. Traslazione, rotazione e simmetria sono isometrie.
Che cos'è la simmetria assiale?
Il ribaltamento rispetto a una retta chiamata asse: ogni punto va dall'altra parte dell'asse, alla stessa distanza e sulla perpendicolare.
Che cos'è la simmetria centrale?
La rotazione di mezzo giro attorno a un punto detto centro, che risulta essere il punto medio del segmento fra ogni punto e il suo simmetrico.
Qual è la differenza fra le due simmetrie?
L'assiale ribalta come uno specchio ed è un'isometria inversa, perché il verso di lettura si inverte; la centrale ruota di 180° sul piano ed è diretta, perché mantiene il verso di percorrenza.
Che cos'è un asse di simmetria di una figura?
Una retta che divide la figura in due parti che si sovrappongono ribaltandole. Il quadrato ne ha quattro, il rettangolo due.
Quali figure hanno un centro di simmetria?
Parallelogramma, rettangolo, rombo, quadrato e cerchio. Il triangolo, per esempio, non ne ha.
Le figure simmetriche sono congruenti?
Sì: le isometrie conservano le misure, quindi una figura e la sua simmetrica sono sempre congruenti.