La Traslazione: Vettore, Direzione e Verso

Una freccia sola descrive tutta la figura

La traslazione è la più semplice delle tre isometrie, e il motivo è tutto in una proprietà:

Tutti i punti si spostano allo stesso modo.

Stessa direzione, stesso verso, stessa quantità. Non c’è un punto che si muove più di un altro, non c’è un punto che resta fermo.

E allora succede una cosa comoda: per descrivere lo spostamento di tutta la figura basta descrivere quello di un punto solo. Se sai dov’è finito il vertice A, sai anche dove sono finiti B e C, perché hanno fatto lo stesso percorso.

La freccia che porta questa informazione si chiama vettore, e la traslazione è forse il primo posto in cui lo incontri. Non è un oggetto complicato: è una freccia disegnata su un foglio.

Le tre informazioni del vettore

Una freccia dice tre cose insieme, e servono tutte e tre:

• la direzione: la retta lungo cui ci si muove, cioè l’inclinazione;
• il verso: da che parte si va lungo quella retta, indicato dalla punta;
• il modulo: la lunghezza della freccia, cioè di quanto ci si sposta.

Direzione e verso si confondono spesso. La differenza è questa: due frecce orizzontali hanno la stessa direzione, ma se una punta a destra e l’altra a sinistra hanno verso opposto.

Cambia una sola delle tre informazioni e la traslazione è un’altra.

Come si trasla una figura

Sul quaderno a quadretti il procedimento è meccanico:

1. leggi il vettore in quadretti, per esempio “5 a destra e 2 in alto”;
2. applicalo a ogni vertice, uno alla volta, contando i quadretti;
3. unisci i nuovi vertici nello stesso ordine.

Non serve traslare tutti i punti della figura: bastano i vertici, perché i lati vengono da sé.

Se lavori sul piano cartesiano è ancora più immediato: basta sommare i quadretti alle coordinate. Con un vettore di “+5 a destra e +2 in alto”, il punto A(1; 3) diventa A’(1+5; 3+2) = A’(6; 5).

Il controllo finale è sempre lo stesso: i segmenti che uniscono ogni punto al suo trasformato (AA’, BB’, CC’) devono essere tutti paralleli e tutti della stessa lunghezza. Se uno è storto o più corto, hai contato male i quadretti.

Cosa cambia e cosa no

La traslazione è un’isometria, quindi:

• i lati restano uguali;
• gli angoli restano uguali;
• l’area resta uguale;
• il verso di percorrenza resta lo stesso: la figura non si capovolge.

Quest’ultimo punto la distingue dalla simmetria assiale, che invece specchia. Nella traslazione la figura resta “dalla stessa parte”, come un foglio fatto scivolare sul tavolo senza mai sollevarlo.

E cambia solo una cosa: la posizione. Ogni singolo punto si è spostato, nessuno escluso.

Nessun punto resta fermo

Questa è la caratteristica che identifica la traslazione fra le tre isometrie.

Se in un esercizio ti dicono che un punto della figura è rimasto al suo posto, quella non è una traslazione. È un controllo che chiude molte domande a risposta multipla.

Traslazioni una dopo l’altra

Se applichi due traslazioni di fila, il risultato è ancora una traslazione.

Il nuovo vettore si ottiene mettendo la seconda freccia in coda alla prima e unendo l’inizio con la fine: è la somma dei due spostamenti.

3 a destra e 1 in alto, poi 2 a destra e 4 in alto → in tutto 5 a destra e 5 in alto

È lo stesso ragionamento di quando fai due spostamenti su una mappa: quello che conta è dove sei arrivato rispetto a dove eri partito.

Se ti blocchi: conta i quadretti su un vertice solo

Quando devi traslare una figura e ti perdi, non guardare tutta la figura insieme.

Prendi un vertice solo, contane lo spostamento in quadretti (tante a destra o sinistra, tante in su o in giù) e scrivi quei due numeri a lato.

Poi applica quegli stessi due numeri a ogni altro vertice, uno per volta. Non devi ripensare al vettore ogni volta: è sempre lo stesso.

E se l’esercizio ti dà la figura di partenza e quella di arrivo e chiede il vettore, fai il contrario: scegli un vertice qualsiasi e conta di quanto si è spostato. Quella è la risposta, e vale per tutti gli altri.