Servono tre informazioni, non una
Per descrivere una traslazione basta una freccia. Per una rotazione non basta dire “gira”: servono tre cose, e se ne manca una la rotazione non è determinata.
Centro: attorno a quale punto si gira.
Angolo: di quanto si gira.
Verso: in che senso, orario o antiorario.
Prova a immaginare: “ruota il triangolo di 90°”. Attorno a quale punto? In che verso? Ci sono infinite risposte diverse. Aggiungi centro e verso e la figura finale è una sola.
È lo stesso motivo per cui, quando dai indicazioni stradali, non basta dire “gira”: devi dire dove e da che parte.
Come si muove un punto
La regola punto per punto è questa:
P e P’ stanno alla stessa distanza dal centro, e l’angolo P Ô P’ è l’angolo di rotazione.
La conseguenza più utile è la prima parte: la distanza dal centro non cambia mai. Quindi ogni punto della figura si muove lungo un arco di circonferenza che ha per centro il centro di rotazione e per raggio la sua distanza.
I punti lontani dal centro percorrono archi lunghi, quelli vicini archi corti. Il centro ha distanza zero, quindi non si muove affatto: è l’unico punto fermo.
Il verso
Per convenzione:
- antiorario = verso positivo, il contrario delle lancette dell’orologio;
- orario = verso negativo, come le lancette.
Cambiare verso cambia il risultato, tranne in un caso: la rotazione di 180°, dove girando da una parte o dall’altra si finisce nello stesso posto.
Gli angoli che tornano più spesso
| Angolo | Che cosa fa |
|---|---|
| 90° | un quarto di giro |
| 180° | mezzo giro |
| 270° | tre quarti di giro |
| 360° | giro completo, la figura torna com’era |
La rotazione di 180° merita attenzione: è esattamente la simmetria centrale. Non sono due trasformazioni diverse, sono la stessa cosa chiamata in due modi.
E la rotazione di 360° riporta tutto al punto di partenza: è come non aver fatto niente.
Come si ruota una figura sul quaderno
Con angoli di 90° il quaderno a quadretti rende tutto facile, e c’è un trucco che evita il goniometro.
Per ruotare un punto di 90° antiorario attorno all’origine dei quadretti:
- conta di quanti quadretti il punto è a destra e in alto rispetto al centro;
- scambia i due numeri;
- il “destra” diventa “in alto”, e l‘“in alto” diventa “a sinistra”.
P sta 3 a destra e 1 in alto → P’ sta 1 a sinistra e 3 in alto
Fallo per ogni vertice e unisci. Il controllo finale: ogni vertice deve essere rimasto alla stessa distanza dal centro, e puoi verificarlo a occhio contando i quadretti.
Due simmetrie fanno un’altra isometria
Ecco il risultato più elegante del capitolo, e spiega perché le tre isometrie sono una famiglia e non tre cose separate.
Se applichi due simmetrie assiali una dopo l’altra:
- se i due assi sono paralleli, ottieni una traslazione, di lunghezza doppia rispetto alla distanza fra gli assi;
- se i due assi sono incidenti, ottieni una rotazione attorno al loro punto di incontro, di angolo doppio rispetto all’angolo fra gli assi.
Detto altrimenti: traslazione e rotazione si possono costruire con due specchi. È il motivo per cui la simmetria assiale è considerata l’isometria più elementare delle tre.
E si capisce anche perché la simmetria centrale è una rotazione di 180°: nasce da due assi perpendicolari, e il doppio di 90° fa 180°.
Se ti blocchi: chiediti cosa è rimasto fermo
Davanti a un disegno con due figure uguali in posizioni diverse, il modo più veloce per capire quale isometria le lega è cercare i punti fissi.
Nessun punto fermo e segmenti tutti paralleli? Traslazione.
Un punto solo fermo? Rotazione, e quel punto è il centro.
Una retta intera di punti fermi? Simmetria assiale, e quella retta è l’asse.
La figura è specchiata? Allora c’è di mezzo una simmetria assiale, perché traslazione e rotazione non capovolgono mai.
C’è anche il nome tecnico che usano i professori, e vale un punto in verifica: rotazione e traslazione sono isometrie dirette, perché l’ordine dei vertici (A → B → C) resta lo stesso e la figura non esce mai dal piano del foglio. La simmetria assiale è invece un’isometria inversa: l’ordine si capovolge, e per sovrapporre le due figure devi ribaltare il foglio.
Due domande, quattro risposte, e riconosci qualunque trasformazione senza misurare niente.
✎ Esercizio svolto
Un punto P dista 4 cm dal centro O. Dopo una rotazione di 90° in senso antiorario, quanto dista P' da O? E se la rotazione fosse di 180°, che trasformazione otterresti?
- Usa la proprietà della distanza Nella rotazione ogni punto resta sempre alla stessa distanza dal centro: P' dista ancora 4 cm da O.
- Immagina il percorso P non salta: percorre un arco di circonferenza di raggio 4 cm, per un quarto di giro.
- Passa alla rotazione di 180° Mezzo giro porta P dalla parte opposta, sulla stessa retta per O e alla stessa distanza.
- Riconosci la trasformazione Questa è esattamente la definizione di simmetria centrale di centro O.
Soluzione: P' dista sempre 4 cm da O; una rotazione di 180° coincide con la simmetria centrale.
▶ Lo vedi nel gioco
Ecco come questo argomento prende vita dentro il videogioco Math Legacy.
Video gameplay in arrivo
Presto qui vedrai l'argomento affrontato dentro il videogioco Math Legacy.
Domande frequenti
Che cos'è una rotazione?
Una trasformazione che fa girare la figura attorno a un punto fisso, di un angolo dato e in un verso dato.
Quali informazioni servono per descrivere una rotazione?
Tre: il centro di rotazione, l'ampiezza dell'angolo e il verso, orario o antiorario.
Quale punto resta fermo in una rotazione?
Solo il centro. Tutti gli altri si spostano lungo un arco di circonferenza.
Che rapporto c'è fra rotazione e simmetria centrale?
La simmetria centrale è una rotazione di 180°: sono la stessa trasformazione chiamata in due modi.
Che cosa si ottiene componendo due simmetrie assiali?
Se gli assi sono paralleli si ottiene una traslazione, se sono incidenti una rotazione attorno al loro punto di incontro.
Il verso orario e antiorario cambia il risultato?
Sì, tranne che per la rotazione di 180°, dove i due versi portano allo stesso punto.
La rotazione conserva le misure?
Sì, è un'isometria: lati, angoli e area restano identici e la figura non si capovolge.