Intersezione e Unione di Insiemi: Simboli ∩ e ∪ con Esempi

Una è la E, l’altra è la O

Intersezione e unione si confondono per un motivo preciso: si imparano come due definizioni lunghe, piene di “appartengono contemporaneamente” e “presi una sola volta”. Ma sotto quelle frasi c’è una differenza di una parola.

Intersezione: gli elementi che stanno in A e in B.

Unione: gli elementi che stanno in A o in B.

Tutto qui. La E chiede di soddisfare tutte e due le condizioni, quindi restringe. La O si accontenta di una delle due, quindi allarga.

Quando in un esercizio non sai quale delle due usare, non ripescare la definizione: leggi la richiesta e cerca la congiunzione. “Gli studenti che giocano a calcio e a basket” è un’intersezione. “Gli studenti che giocano a calcio o a basket” è un’unione.

L’intersezione: solo quello che sta in tutti e due

Dati due insiemi A e B, l’intersezione è l’insieme formato dagli elementi che appartengono contemporaneamente ad A e a B.

C = A ∩ B

Il simbolo ∩ si legge “intersecato”. Nel diagramma di Venn è la zona in cui le due linee chiuse si sovrappongono.

L’intersezione è sempre più piccola o uguale a ciascuno dei due insiemi di partenza: stai chiedendo due condizioni insieme, quindi puoi solo perdere elementi, mai guadagnarne.

E può capitare che non ne resti nessuno: se A e B non hanno niente in comune, A ∩ B = ∅, l’insieme vuoto. In quel caso i due insiemi si dicono disgiunti.

L’unione: tutto quello che sta almeno in uno

L’unione di A e B è l’insieme formato dagli elementi che appartengono ad A oppure a B, presi una sola volta quando sono in comune.

C = A ∪ B

Il simbolo ∪ si legge “unito”. Nel diagramma è tutta l’area coperta dalle due linee chiuse messe insieme.

Attenzione alla parola “oppure”: in matematica non è mai esclusivo. “A o B” significa “almeno uno dei due”, quindi comprende anche gli elementi che stanno in tutti e due. Non è come il “o” di “vuoi il gelato o la torta”, dove uno esclude l’altro.

Da qui viene la regola del conteggio: gli elementi comuni si scrivono una volta sola. Non perché siano meno importanti, ma perché in un insieme ogni elemento c’è o non c’è, e non può comparire due volte.

Un esempio completo

Prendiamo A = { 1, 2, 3, 4, 5 } e B = { 4, 5, 6, 7 }.

Intersezione. Cerco gli elementi che stanno in A e in B: il 4 e il 5.

A ∩ B = { 4, 5 }

Unione. Cerco quelli che stanno in A o in B: tutti, da 1 a 7.

A ∪ B = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 }

Un controllo che funziona sempre: l’intersezione deve essere contenuta nell’unione. Qui { 4, 5 } sta dentro { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 }, quindi il conto torna.

E un controllo sui numeri: A ha 5 elementi, B ne ha 4, in totale 9. L’unione ne ha 7, cioè 9 meno i 2 comuni, che sarebbero stati contati due volte. Se i conti non tornano così, hai dimenticato o ripetuto qualcosa.

Le trovi già altrove nel programma

Queste due operazioni non restano nel capitolo degli insiemi: sono lo stesso ragionamento che fai in aritmetica senza chiamarlo così.

Quando cerchi il massimo comune divisore di due numeri, stai cercando il più grande elemento dell’intersezione fra i due insiemi di divisori.

Quando cerchi il minimo comune multiplo, stai cercando il più piccolo elemento comune fra i due insiemi di multipli.

È il motivo per cui gli insiemi si studiano all’inizio dell’anno: servono come linguaggio per quasi tutto quello che viene dopo.

Se ti blocchi: traduci il simbolo in una parola

Quando davanti a un esercizio non ricordi quale simbolo sia quale, usa questi due appigli.

La ∪ è una U, come l’iniziale di unione. La ∩ è la stessa lettera rovesciata, quindi è l’altra.

Poi traduci in parole: ∩ diventa “e”, ∪ diventa “o”. Rileggi la richiesta con la parola al posto del simbolo e la risposta si scrive da sola.

E se hai un dubbio sul risultato, fai il disegno: due linee chiuse che si sovrappongono, gli elementi al posto giusto e poi colora la zona che ti interessa. Con i diagrammi di Venn un errore si vede a occhio molto prima che nei conti.