Un insieme non è un gruppo di cose: è una regola
Detta così, “insieme” sembra la parola più innocua del programma: un mucchio di roba messa insieme. Ed è proprio questa impressione a far sbagliare il primo esercizio, quello in cui bisogna dire quali raggruppamenti sono insiemi e quali no.
Perché in matematica un insieme non è definito dalle cose che contiene: è definito dalla regola che decide chi entra e chi resta fuori. E quella regola deve superare un test preciso:
Preso un oggetto qualsiasi, devi poter rispondere sì o no senza discussioni.
“I ragazzi che hanno meno di 18 anni a Milano” supera il test: basta guardare la data di nascita. “I ragazzi giovani a Milano” non lo supera: giovane per chi?
Non è pignoleria. È la stessa esigenza che ti seguirà per tutta la matematica: le definizioni servono a far sì che due persone diverse, guardando lo stesso oggetto, arrivino alla stessa conclusione.
Il test in pratica
Il modo più veloce per applicarlo è cercare un caso di confine e vedere se la regola sa cosa farne.
| Raggruppamento | Caso di confine | Insieme? |
|---|---|---|
| i numeri pari | il 7 | sì, chiaramente fuori |
| i film belli | un film che a te piace e a me no | no |
| gli alunni della 1ª B | uno che si è appena trasferito | sì, basta l’elenco |
| i numeri grandi | il 1000 | no, non c’è un confine |
Le parole da cui diffidare sono sempre le stesse: bello, alto, grande, bravo, simpatico. Sono aggettivi che dipendono da chi guarda. Le parole che invece funzionano sono le misure e i confronti precisi: minore di, più alto di 180 cm, nato prima del 2010.
Elementi concreti e astratti
Gli oggetti che formano un insieme si chiamano elementi, e possono essere di due tipi:
- concreti, come una collezione di francobolli, gli alberi di un giardino o i giocatori di una squadra;
- astratti, come i numeri, i colori o le figure geometriche.
Alla matematica interessano soprattutto i secondi, ma il concetto è lo stesso. Ed è per questo che gli insiemi tornano ovunque: i divisori di un numero sono un insieme, i numeri primi sono un insieme, i punti di una figura geometrica sono un insieme.
Come si scrivono insiemi ed elementi
C’è una convenzione che vale sempre e che conviene rispettare fin da subito:
- gli insiemi si indicano con una lettera maiuscola: A, B, C;
- gli elementi con una lettera minuscola: a, b, c.
Per dire che un elemento fa parte di un insieme si usa il simbolo ∈:
a ∈ A si legge “a appartiene ad A”
Per dire il contrario si usa lo stesso simbolo barrato, ∉:
b ∉ A si legge “b non appartiene ad A”
Il modo per ricordarli senza sforzo: la ∈ è una E stilizzata, come l’iniziale di elemento, e punta verso l’insieme a cui l’elemento appartiene.
Finiti, infiniti e vuoto
In base a quanti elementi contengono, gli insiemi si dividono in tre casi.
- Finito: ha un numero limitato di elementi, come le vocali o gli alunni di una classe.
- Infinito: ne ha un numero illimitato, come tutti i numeri naturali o tutti i multipli di 3.
- Vuoto: non ha nessun elemento, e si indica con ∅ oppure con { }.
L’insieme vuoto sembra inutile, e invece è comodissimo: serve a dire “non ce n’è nessuno” restando dentro il linguaggio degli insiemi. L’insieme dei numeri pari maggiori di 4 e minori di 6 è vuoto, e la risposta è ∅, non “niente”.
Attenzione a una sottigliezza: { 0 } non è l’insieme vuoto. È un insieme che contiene un elemento, lo zero. La scatola vuota e la scatola con dentro uno zero sono due cose diverse.
Quando due insiemi sono uguali
Due insiemi sono uguali se sono formati esattamente dagli stessi elementi. Nient’altro conta.
{ 1, 2, 3 } = { 3, 1, 2 }, perché l’ordine non conta.
E le ripetizioni nemmeno: scrivere { 1, 2, 2, 3 } non aggiunge niente, perché in un insieme ogni elemento c’è o non c’è, non può esserci “due volte”.
Se ti blocchi: cerca il caso che mette in crisi la regola
Quando devi decidere se un raggruppamento è un insieme, non cercare gli esempi che funzionano: cerca quello che non funziona.
Prendi la descrizione e prova a immaginare un oggetto su cui due persone diverse risponderebbero in modo opposto. Se lo trovi, non è un insieme. Se non riesci a trovarlo, lo è.
Per “i numeri minori di 10” non riesci: qualunque numero pensi, la risposta è la stessa per tutti. Per “i numeri piccoli” lo trovi subito: il 50 è piccolo? Dipende.
È lo stesso test che userai nella pagina successiva, quando dovrai rappresentare un insieme per caratteristica: la regola che scrivi deve essere abbastanza precisa da non lasciare dubbi a nessuno.
✎ Esercizio svolto
Dì quali di questi raggruppamenti sono insiemi e quali no: (1) i numeri naturali minori di 5; (2) i film belli; (3) le vocali dell'alfabeto italiano.
- Applica il test della regola Per ciascun raggruppamento chiediti: posso dire con certezza, per qualunque oggetto, se ne fa parte oppure no?
- Analizza il primo caso "Numeri naturali minori di 5": il 3 sì, il 7 no, e non c'è discussione possibile. È un insieme, ed è A = { 0, 1, 2, 3, 4 }.
- Analizza il secondo caso "I film belli": lo stesso film è bello per uno e brutto per un altro. La regola non dà una risposta univoca, quindi non è un insieme.
- Analizza il terzo caso "Le vocali dell'alfabeto italiano": sono esattamente a, e, i, o, u. Regola certa, quindi è un insieme.
Soluzione: Sono insiemi il (1) e il (3); "i film belli" non è un insieme perché la regola dipende dalle opinioni.
▶ Lo vedi nel gioco
Ecco come questo argomento prende vita dentro il videogioco Math Legacy.
Video gameplay in arrivo
Presto qui vedrai l'argomento affrontato dentro il videogioco Math Legacy.
Domande frequenti
Che cos'è un insieme in matematica?
È un raggruppamento di oggetti individuabili in modo certo e univoco grazie a una regola chiara. Gli oggetti che lo compongono sono gli elementi.
Quando un raggruppamento non è un insieme?
Quando la regola non permette di decidere con certezza. "I ragazzi alti" non è un insieme, mentre "i ragazzi più alti di 180 cm" lo è.
Cosa significano i simboli ∈ e ∉?
Il simbolo ∈ significa appartiene: a ∈ A si legge "a appartiene ad A". Il simbolo ∉ è lo stesso barrato e significa non appartiene.
Qual è la differenza tra insieme finito e infinito?
Un insieme finito ha un numero limitato di elementi, come le vocali. Uno infinito ne ha un numero illimitato, come tutti i numeri naturali.
Che cos'è l'insieme vuoto?
È l'insieme privo di elementi, e si indica con ∅ oppure con le parentesi graffe vuote { }.
Quando due insiemi sono uguali?
Quando sono formati esattamente dagli stessi elementi. Non contano l'ordine in cui si scrivono né le eventuali ripetizioni.
Gli elementi di un insieme devono essere numeri?
No. Possono essere concreti, come persone o oggetti, oppure astratti, come numeri, colori e figure geometriche.