Rappresentare un Insieme: Elencazione, Caratteristica e Venn

Tre scritture, e la scelta dipende da quanti elementi ci sono

I libri presentano i tre modi di rappresentare un insieme come se fossero equivalenti, tre versioni della stessa cosa fra cui scegliere a piacere. Non è così, e capirlo fa risparmiare tempo negli esercizi.

Ognuno dei tre serve a una situazione diversa:

• elencazione quando gli elementi sono pochi e li puoi scrivere tutti;
• caratteristica quando sono tanti o infiniti e scriverli tutti è impossibile;
• grafica quando ti serve confrontare due insiemi e vedere cosa hanno in comune.

Prova a rappresentare per elencazione l’insieme di tutti i numeri pari e capisci subito il problema: non finiresti mai. Prova a rappresentare per caratteristica l’insieme { Marco, Sara, Luca } e ti accorgi che una regola non c’è, sono solo tre nomi.

La domanda giusta prima di scrivere è quindi una sola: quanti sono gli elementi, e cosa devo farci?

Per elencazione: scrivi tutto

Nella rappresentazione per elencazione, detta anche tabulare, si scrivono uno per uno tutti gli elementi fra parentesi graffe, separati da virgole.

A = { 0, 1, 2, 3 }

È il modo più diretto e non lascia dubbi su niente. Due regole da rispettare: le graffe ci vogliono sempre, e ogni elemento si scrive una sola volta, perché in un insieme non esistono ripetizioni.

Quando gli elementi sono tanti ma seguono uno schema evidente si usano i puntini di sospensione: l’insieme dei numeri da 1 a 100 si scrive { 1, 2, 3, …, 100 }. È una scorciatoia accettata, ma funziona solo se lo schema è chiarissimo.

Per caratteristica: scrivi la regola

Nella rappresentazione per caratteristica non si elencano gli elementi: si scrive la regola che li accomuna.

A = { x | x è un numero naturale minore di 4 }

Si legge “A è l’insieme degli x tali che x è un numero naturale minore di 4”. La barra verticale | si legge “tale che”, e separa due parti che fanno lavori diversi: a sinistra il nome generico dell’elemento, a destra la condizione che deve soddisfare.

Al posto della barra verticale $\vert{}$, molti libri usano i due punti $:$ oppure la barra $/$, ma il significato è identico: si leggono sempre “tale che”.

È l’unico modo possibile quando gli elementi sono infiniti, come nell’insieme dei multipli di 3 o in quello dei numeri pari.

E qui torna il test della guida precedente: la condizione che scrivi a destra della barra deve essere abbastanza precisa da rispondere sì o no per qualunque oggetto. Scrivere { x | x è un numero grande } non è una rappresentazione valida.

Grafica: i diagrammi di Eulero-Venn

Nella rappresentazione grafica si disegna una linea chiusa e al suo interno si mettono gli elementi, di solito con un puntino accanto al nome.

Da sola, per un insieme singolo, non aggiunge quasi niente rispetto all’elencazione. Diventa potente quando gli insiemi sono due o più: allora la posizione delle linee chiuse racconta a colpo d’occhio se si sovrappongono, se uno sta dentro l’altro o se non hanno niente in comune.

È il motivo per cui questo disegno è lo strumento principale della guida su intersezione e unione.

I sottoinsiemi

Un insieme B si dice sottoinsieme proprio di A quando ogni elemento di B appartiene ad A, ma esiste almeno un elemento di A che non appartiene a B.

B ⊂ A si legge “B è contenuto in A”

Il simbolo ⊂ si chiama simbolo di inclusione; barrato, ⊄, significa il contrario. Si può anche girare la frase e scrivere A ⊃ B, che si legge “A include B”.

Nel disegno il concetto è immediato: la linea chiusa di B sta tutta dentro quella di A.

Non confondere ∈ con ⊂

È l’errore più frequente di tutto il capitolo, e nasce dal fatto che i due simboli si somigliano nel significato ma non nell’uso.

∈ collega un elemento a un insieme: 2 ∈ A

⊂ collega un insieme a un altro insieme: { 2 } ⊂ A

Il 2 da solo è un elemento, quindi vuole ∈. Il 2 dentro le graffe è un insieme con un elemento solo, quindi vuole ⊂. Sono due scritture diverse per due cose diverse.

Il controllo veloce: guarda cosa c’è a sinistra del simbolo. Se ci sono le graffe, il simbolo giusto è ⊂; se non ci sono, è ∈.

Se ti blocchi: conta gli elementi e poi scegli

Davanti alla richiesta “rappresenta questo insieme”, fai una domanda sola: quanti elementi ha?

Pochi, li conosci tutti? Elencazione. È la più veloce e la più difficile da sbagliare.

Tanti ma con uno schema? Elencazione con i puntini, oppure caratteristica se lo schema si descrive meglio a parole.

Infiniti? Caratteristica, non hai alternative.

Devi confrontarlo con un altro insieme? Grafica, perché è l’unica che mostra i rapporti fra i due.

E se l’esercizio chiede tutte e tre le rappresentazioni, parti sempre dall’elencazione: avere gli elementi sotto gli occhi rende più facile scrivere la regola e disegnare il diagramma.